Découvrez comment les fractales ont changé à jamais les mathématiques et les sciences

L’un des fractales les plus célèbres est l’ensemble de Mandelbrot, qui démontre la propriété d’auto-similarité.

Il y a cinquante ans, le terme « fractal » naissait.

Dans un ouvrage de 1975, le mathématicien franco-polonais Benoît B. Mandelbrot a inventé ce terme pour décrire une famille de formes brutes et fragmentées qui échappent aux limites de la géométrie conventionnelle. Les mathématiciens décrivaient ces types de formes depuis la fin du XIXe siècle. Mais en leur donnant un nom – dérivé de fractus , qui signifie « brisé » en latin –, Mandelbrot a donné de la valeur aux fractales. Il a introduit une méthode pour les mesurer et les analyser. Grâce à ce nom, il a reconnu l’ordre dans la complexité.

Si vous connaissez quelque chose aux fractales, c’est probablement ceci : leur caractéristique principale est l’auto-similarité. Quel que soit le zoom, on trouve des motifs similaires. Prenons un flocon de neige. La forme générale du cristal se répète à des échelles de plus en plus petites à mesure que le flocon se ramifie. (Un flocon de neige et d’autres formes naturelles sont toutefois considérés comme « de type fractal », car le motif se décompose au niveau des molécules et des atomes.) En clin d’œil à cette auto-similarité, Mandelbrot disait souvent que son initiale du deuxième prénom, B., signifiait « Benoit B. Mandelbrot ». Son nom complet devient donc « Benoit Benoit B. Mandelbrot Mandelbrot ». Et en épelant à nouveau l’initiale du deuxième prénom, on obtient « Benoit Benoit Benoit B. Mandelbrot Mandelbrot Mandelbrot ». Peu importe le nombre d’itérations, on le retrouve derrière son initiale du deuxième prénom.

Les fleurons du chou romanesco suivent, dans une certaine mesure, les règles des fractales. Au niveau le plus infime, les molécules et les atomes ne ressemblent pas à la forme du légume.Ivar Leidus/Wikimedia Commons (CC BY-SA 4.0)

Les fractales peuvent prendre de multiples formes : lignes rugueuses, formes irrégulières ou solides poreux. Elles se distinguent par leur incapacité à concevoir la dimension comme le nombre minimal de coordonnées nécessaires pour définir un point en son sein. Une ligne est unidimensionnelle, l’aire à l’intérieur d’un cercle est bidimensionnelle, et l’espace à l’intérieur d’une sphère est tridimensionnel.

Les fractales ne correspondent pas exactement à ces catégories, et Mandelbrot a introduit une définition mathématique de la dimension fractale, qui caractérise la rugosité d’une zone courbe ou d’une autre forme. Une forme connue sous le nom de flocon de Koch, par exemple, a une dimension fractale d’environ 1,2619.

Les motifs fractals sont omniprésents , se prélassant aux confins des nuages ​​ou sur les crêtes escarpées des montagnes. « Les nuages ​​ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles », écrivait Mandelbrot.

Des structures de type fractal apparaissent même dans le corps. « Sans un réseau fractal de vaisseaux sanguins, nous mourrions probablement à chaque seconde, à chaque battement de cœur, car c’est une pompe très puissante », explique Michel Lapidus, mathématicien à l’Université de Californie à Riverside et rédacteur en chef du Journal of Fractal Geometry . Une structure ramifiée, explique-t-il, ralentit le flux sanguin et achemine le sang là où il doit aller. Des formes de type fractal apparaissent également dans les cellules cancéreuses et les poumons.

Les scientifiques ont utilisé les fractales pour étudier les maladies pulmonaires, comme l’emphysème, qui endommagent les parois des alvéoles pulmonaires. Grâce à la tomodensitométrie, les médecins peuvent utiliser les analyses fractales pour caractériser la taille et la répartition des zones endommagées et suivre la progression de l’emphysème. Sur les reconstructions 3D, la voie aérienne de gauche, avec ses nombreux petits amas, est en meilleure santé que la voie aérienne de droite, avec ses nombreux petits amas et ses nombreux grands amas.N. Tanabe et al/Frontiers in Physiology 2020

Au cours du dernier demi-siècle, les fractales ont ouvert la voie aux mathématiciens vers des domaines inconnus, comme le calcul fractal et l’algèbre fractale. Mais les fractales sont bien plus qu’un simple sous-domaine des mathématiques. Leur rugosité caractéristique aide les scientifiques à visualiser le chaos et à modéliser l’évolution des systèmes en mutation. Elles aident les ingénieurs à concevoir de nouveaux gadgets pratiques. Elles inspirent même les artistes et les musiciens.

Dans le monde des mathématiques, Lapidus, qui compte Mandelbrot parmi ses amis et fut la dernière personne à lui avoir parlé avant sa mort en 2010, a mis au jour des liens profonds entre les fractales et la théorie des nombres. Avec d’autres, il a utilisé les fractales pour analyser la
fonction zêta de Riemann , liée à la distribution des nombres premiers le long de la droite numérique. L’ hypothèse de Riemann , qui formule une affirmation concernant cette fonction, est largement considérée comme le problème non résolu le plus important de toutes les mathématiques, et une structure fractale sous-jacente pourrait un jour figurer dans sa démonstration.

Les fractales imprègnent également la société. Mandelbrot et d’autres ont longtemps soupçonné que les marchés financiers pouvaient être modélisés par des processus fractals chaotiques, bien que cela reste à prouver. Des chercheurs ont mesuré la dimension fractale des motifs de gouttes dans les peintures de Jackson Pollock. Certaines compositions de Jean-Sébastien Bach présentent une autosimilarité de type fractal, car les combinaisons de notes individuelles longues et courtes se répètent à plus grande échelle, dans des phrases de plus en plus longues.

Si certains motifs fractals fascinants peuvent être considérés comme des œuvres d’art à part entière, ils peuvent aussi ouvrir la voie à des innovations pratiques. « On commence par se dire : “Oh, c’est vraiment intéressant de pouvoir créer ces images complexes”, mais les mathématiciens sont captivés, bien au-delà des images », explique Michael Barnsley, mathématicien à l’Université nationale australienne de Canberra, qui s’est inspiré des fractales pour concevoir une stratégie de compression d’images.

Les formes géométriques traditionnelles comme les cercles et les lignes droites ne décrivent pas tout ce que nous voyons dans la nature. Les bords des lacs et des rivières, par exemple, sont irréguliers.NASA

Barnsley a commencé à scruter les fractales dans les années 1980, car il s’intéressait à la théorie du chaos, l’étude de l’évolution des processus aléatoires à partir de points de départ simples et déterministes. Il a constaté que les images comportent souvent des détails auto-similaires : la façon dont une ligne traverse un pixel dans une partie de l’image peut être identique à celle d’un autre pixel.

De cette observation est née une méthode de compression d’image permettant de réduire ou d’agrandir certaines parties d’une image. Au début des années 1990, Microsoft a commencé à utiliser cette méthode. Des conceptions inspirées des fractales ont également été explorées pour le traitement du signal et l’analyse des données. Des antennes de type fractale, aux courbes tortueuses, permettent la communication sur plusieurs fréquences et occupent une surface minuscule dans certains appareils sans fil. Les fractales pourraient même s’avérer vitales pour la technologie la plus transformatrice d’aujourd’hui : l’IA. Barnsley soupçonne qu’à mesure que les entreprises d’IA s’efforceront d’améliorer leurs algorithmes et leurs architectures , elles reconnaîtront les avantages de l’exploitation de l’auto-similarité. « Notre cerveau est un objet quasi fractal », explique-t-il. Les connexions entre les neurones s’apparentent à un système de ramification auto-similaire. « Et si l’on veut parvenir à la conscience, une conscience artificielle », ajoute-t-il, « elle doit posséder un modèle autoréférentiel. »

Cet article est tiré du journal Science News