Des mathématiciens ont découvert un nouveau type de nombre premier
- Les nombres premiers, sensibles au numérique, deviennent composites grâce à cette astuce étonnante .
- Des chercheurs en mathématiques ont prouvé l’existence de ces nombres premiers en utilisant la méthode de l’épreuve du seau.
- Il n’existe pour l’instant aucun exemple connu, mais les mathématiciens gardent espoir.
Des mathématiciens ont mis au jour une nouvelle catégorie de nombres premiers « numériquement sensibles » . Ces nombres premiers, d’une longueur infinie, se transforment en nombres composés plus vite que Cendrillon à minuit, dès qu’un seul chiffre est modifié.
Les nombres premiers, dits « numériquement sensibles », possèdent une infinité de chiffres ; modifier n’importe quel chiffre donne un nombre composé. Prenons l’exemple de 101 , qui est un nombre premier. Si l’on remplace ses chiffres par 201 , 102 ou 111 , on obtient des valeurs divisibles par 3, donc des nombres composés.
Bien que cette idée remonte à plusieurs décennies, des mathématiciens de l’Université de Caroline du Sud ont établi une catégorie encore plus spécifique de nombres premiers à sensibilité numérique : les nombres premiers à sensibilité numérique étendue . Il s’agit de nombres premiers auxquels on a ajouté une infinité de « zéros non significatifs », qui ne modifient pas le nombre premier d’origine, mais dont le résultat est influencé par la substitution de ces zéros par d’autres chiffres afin de tester leur sensibilité.
Donc, au lieu de 101 , prenons 000101. Cette valeur est première, et les zéros sont là uniquement pour la forme. Mais si vous modifiez les zéros, par exemple en remplaçant 000101 par 100101 , vous obtenez un nombre composé divisible par 3. Les mathématiciens pensent qu’il existe une infinité de nombres premiers dont la valeur numérique est très sensible, mais jusqu’à présent, ils n’ont trouvé aucun exemple concret. Ils ont testé tous les nombres premiers jusqu’à 1 000 000 000 en ajoutant des zéros non significatifs et en effectuant les calculs.
Le professeur de mathématiques Michael Filaseta, de l’université de Caroline du Sud, et son ancien doctorant Jeremiah Southwick ont collaboré à une recherche sur les nombres complexes en base 10, publiant leurs résultats dans la revue Mathematics of Computation . Même sans exemples précis, ils ont démontré que ces nombres existent en base 10 (c’est-à-dire des nombres utilisant notre système de numération de 0 à 9 ; à comparer avec le système binaire, en base 2, qui ne comporte que 0 et 1) et qu’il en existe une infinité.
La démonstration repose sur une logique qui s’apparente à une version très poussée des règles de la division. Certaines familles de nombres, comme celles contenant des 9 ou dont la somme atteint un certain seuil, peuvent être démontrées de manière générale, puis réparties dans des « catégories » distinctes. Plus le nombre de catégories est élevé, plus la démonstration « couvre » une grande partie de l’ensemble gigantesque des entiers.
« La situation concernant les focales fixes très sensibles au traitement numérique est évidemment plus complexe », explique Steve Nadis de Quanta. « Il vous faudra beaucoup plus de compartiments, de l’ordre de 1 025 000, et dans l’un de ces compartiments, chaque nombre premier deviendra forcément composé si l’un de ses chiffres, y compris ses zéros non significatifs, est augmenté », indiquent les rapports.
Il ne s’agit pas de mathématiques ayant des applications pratiques, mais plutôt de théorie des nombres qui sert avant tout à explorer les limites des mathématiques. Depuis la publication des démonstrations de Filaseta et Southwick, d’autres cas particuliers de nombres numériquement sensibles sont en cours d’étude, d’autres mathématiciens s’appuyant sur leurs recherches.
Et si vous preniez 101 et que vous y ajoutiez un 1 pour obtenir 1011 ? Et si vous retiriez un chiffre pour obtenir 10 ? Les possibilités sont infinies.
Cet article est tiré du magazine Popular Mechanics
